Category: Science.Math / Philosophy

Topic: Hermann Weyl

English version [Ακολουθεί και η ελληνική εκδοχή]

Hermann Klaus Hugo Weyl (November 9, 1885 - December 8, 1955) was a German mathematician, theoretical physicist and philosopher. Although he spent most of his life in Zurich and Princeton, New Jersey, he is attached to the tradition of the University of Göttingen, David Hilbert and Hermann Minkowski.

His research has had a significant impact on theoretical physics as well as on purely mathematical fields, including number theory . He was one of the most influential mathematicians of the twentieth century and an important member of the Institute for Advanced Study during his early years.

Weyl published work on space, time, matter, philosophy, logic, symmetry and the history of mathematics. He was one of the first to conceive of the connection between general relativity and the laws of electromagnetism. He is the only one who has reached the level of universality of Henri Poincaré or Hilbert. Michael Atiyah comments that whatever mathematical question he was studying, Weyl was in front of him.





Ελληνική εκδοχή

O Hermann Klaus Hugo Weyl (9 Νοεμ. 1885 – 8 Δεκ. 1955) ήταν Γερμανός μαθηματικός, θεωρητικός φυσικός και φιλόσοφος. Αν και το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του το πέρασε στη Ζυρίχη και στο Princeton, New Jersey, είναι συνδεδεμένος με την παράδοση του Πανεπιστημίου του Göttingen, των David Hilbert και Hermann Minkowski.

Ο Weyl ως επιστήμων

Η έρευνά του είχε σημαντική επίδραση για τη θεωρητική φυσική καθώς τους καθαρά μαθηματικούς τομείς, μεταξύ των οποίων τη θεωρία των αριθμών (number theory). Ήταν ένας από τους πλέον επιδραστικούς μαθηματικούς του εικοστού αιώνα και σημαντικό μέλος του Institute for Advanced Study κατά την πρώιμη περίοδό του.
br> Ο Weyl δημοσίευσε εργασίες για τον χώρο, τον χρόνο, την ύλη, τη φιλοσοφία, τη λογική, τη συμμετρία και την ιστορία των μαθηματικών. Ήταν από τους πρώτους που συνέλαβαν τη σύνδεση της γενικής σχετικότητας και των νόμων του ηλεκτρομαγνητισμού. Είναι ο μόνος που έφτασε στο ύψος της παγκοσμιότητας του Henri Poincaré ή του Hilbert. Ο Michael Atiyah, σχολιάζει, ότι όποιο μαθηματικό ζήτημα μελετούσε, έβλεπε ότι ο Weyl τον είχε προλάβει.

Το 1911 ο Weyl δημοσίευσε το Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte (Περί της ασυμπτωτικής κατανομής των ιδιοτιμών), όπου απέδειξε ότι οι ιδιοτιμές της Λαπλασιανής σε ένα συμπαγές πεδίο ακολουθούν τον λεγόμενο νόμο του Weyl. Το 1912 πρότεινε μια νέα απόδειξη, βασισμένη σε αρχές διακύμανσης. Ο Weyl επανήλθε στο θέμα αυτό πολλές φορές, μελέτησε συστήματα ελαστικότητας και διατύπωσε την εικασία του Weyl. Οι εργασίες αυτές θεμελίωσαν ένα νέο σημαντικό πεδίο της σύγχρονης ανάλυσης, την ασυμπτωτική κατανομή των ιδιοτιμών.

Ο Weyl ως φιλόσοφος

Ο Weyl διέκειτο αρνητικά στο σχέδιο του Λογικισμού για αναγωγή των μαθηματικών στη λογική. Όλη αυτή η προσπάθεια αποτελεί κατά τη γνώμη του Weyl ένα σύμπτωμα μιας τυπικής ‘μαθηματικής ασθένειας’. Ιδίως στρεφόταν ενάντια στο λεγόμενο παράδοξο του Grelling, όπου ένα επίπεδο χαρακτηρίζεται ως ετερολογικό (heterological) εφόσον δεν ακολουθεί την περίπτωση «η λέξη η ίδια κατέχει την ιδιότητα που αναπαριστά». Συνεπώς η λέξη ‘long’ είναι ετερολογική καθώς δεν είναι μακριά λέξη, ενώ η λέξη 'short’ είναι αυτολογική (autological). Η υποτιθέμενη αντινομία προκύπτει κατά την εξέταση του επίθετου ‘heterological’ κατά πόσο είναι ετερολογική ή αυτολογική. Η λέξη ‘heterological’ για να είναι αυτολογική πρέπει προφανώς να είναι ετερολογική. Ο Weyl υποστηρίζει ότι όλες οι υποτιθέμενες αντινομίες μπορούν να απομακρυνθούν χρησιμοποιώντας εντασιακή λογική και όχι εκτασιακή λογική. Ως φιλοσοφικό σημείο αναφοράς έχει το έργο του Fichte Transzendentale Logik. Επίσης αναφέρεται στο έργο του Husserl Logische Untersuchungen ως σημαντικό φιλοσοφικό έργο αντιτιθέμενο στην εκτασιακή οπτική της λογικής.

Περί το 1912, εμφανίζεται ο ιντουισιονισμός (intuitionism) από τον Ολλανδό μαθηματικό L.E.J. Brouwer. Κατά την προσέγγιση αυτή τα μαθηματικά κατανοούνται μέσω της διαισθητικής και ακριβούς σκέψης κάποιου συγκεκριμένου μαθηματικού. Οπότε στον ιντουισιονιισμό δεν υπάρχουν αντικειμενικά ενδο-μαθηματικά θεμέλια στηλογική ή τη θεωρία των συνόλων, όπως υποστηρίζει ο λογικισμός, αλλά μια έμπνευση από έξω, πέραν του μαθηματικού πεδίου. Αντίθετα, ο φορμαλισμός (formalism) του David Hilbert εστιάζεται στην πληρότητα και συνέπεια ενός τυπικού συστήματος και όχι με την ‘αλήθεια’, όπου χρειάζεται προσφυγή στον έξω κόσμο.

Για μια σύντομη περίοδο ο Weyl υπερασπίζεται δυνατά τον ιντουισιονισμό. Στο άρθρο του 1921 Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik, μιλά για τον θεμελιωτή του ιντουισιονισμού Brouwer ως τον άνθρωπο που φέρνει την ‘επανάσταση’ καθώς σώζει τα μαθηματικά από ένα κακό δαιμόνιο. Σύντομα όμως η συμμαχία του Weyl με τον ιντουισιονισμό αδυνάτισε, όταν έγινε φανερό ότι επρόκειτο για ένα πολύ φιλόδοξο project που χρησιμοποιούσε όπως από την άποψη ενός πρακτικού μαθηματικού ιδέες πολύ περιοριστικές. Σύμφωνα με τον Weyl, ο ιντουισιονισμός δεν μπορεί να περιγράψει την θεωρητική κατασκευή (construction) καθώς και την επινοητικότητα (das Schöpferische) της επιστήμης. Όπως λέει ο ίδιος ο Weyl: « δεν έχουμε την αλήθεια. Δεν αρκεί να ανοίξουμε τα μάτια μας οπότε θα τη δούμε. Πρέπει να δράσουμε και τότε μέρη της αλήθειας θα αποκαλυφθούν μέσα από τη δράση μας».

Ο Weyl ανέπτυξε τη λογική της κατηγορικής ανάλυσης χρησιμοποιώντας τη θεωρία τύπων (theory of types) του Bertrand Russell. Κατάφερε να αναπτύξει το μεγαλύτερο μέρος του κλασικού λογισμού, χωρίς την προσφυγή ούτε στο συζητήσιμο αξίωμα επιλογής (axiom of choice) ούτε στην εις άτοπο απαγωγή, και αποφεύγοντας επίσης τα απειροσύνολα του Georg Cantor. Ο Weyl ελκυόταν από την ριζική κατασκευασιοκρατία (radical constructivism) του Γερμανικού υποκειμενικού ιδεαλισμού του Fichte. Ο Fichte δεν ήταν κάποιος ιδιαίτερα προικισμένος μαθηματικός, όπως βεβαιώνεται από τα σχόλια πολλών συγχρόνων του. Ο Weyl, στις σημειώσεις του στον Fichte, γράφει σε ένα σημείο: «Ο Fichte είναι ιδιαίτερα αστείος όταν προσπαθεί να εκφράσει τις φιλοσοφικές του κατασκευές σε μαθηματική μορφή». Οπότε η εκτίμηση του Weyl για τον Fichte δεν αφορά τις ψευδο-μαθηματικές τυποποιήσεις του αλλά το συνολικό φιλοσοφικό του σχέδιο της κατασκευασιοκρατίας (constructivism).