Category: Science.Math

Topic: Nicolaus I Bernoulli

English version [Ακολουθεί και η ελληνική εκδοχή]

Nicolaus I Bernoulli (21 October 1687, Basel - 29 November 1759, Basel) was a Swiss mathematician, one of the prominent mathematicians of the Bernoulli family. He was the son of the painter Nicolaus Bernoulli of Basel. In 1704 he graduated from the University of Basel under Jacob Bernoulli and received his PhD 5 years later (in 1709) with a thesis on probability theory in law, entitled Dissertatio Inauguralis Mathematico-Juridica de Usu Artis Conjectandi in Jure

His most important contributions can be found in his letters, especially to Pierre Rémond de Montmort . In these letters he introduced the so-called paradox of Ag. Petersburg . He also contacted Gottfried Wilhelm Leibniz and Leonhard Euler .





Ελληνική εκδοχή

O Nicolaus I Bernoulli (21 October 1687, Basel – 29 November 1759, Basel) ήταν Ελβετός μαθηματικός, ένας από τους εξέχοντες μαθηματικούς της οικογένειας Bernoulli. Ήταν γιος του ζωγράφου Nicolaus Bernoulli της Βασιλείας. Το 1704 αποφοίτησε από το Πανεπιστήμιο της Βασιλείας υπό τον Jacob Bernoulli και πήρε το PhD του 5 χρόνια αργότερα (το 1709) με μια εργασία που αφορούσε τη θεωρία πιθανοτήτων στη νομική, υπό τον τίτλο Dissertatio Inauguralis Mathematico-Juridica de Usu Artis Conjectandi in Jure.

Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του μπορούν να βρεθούν στις επιστολές του, ειδικά προς τον Pierre Rémond de Montmort. Στις επιστολές αυτές εισήγαγε το λεγόμενο παράδοξο της Αγ. Πετρούπολης. Επίσης επικοινωνούσε με τους Gottfried Wilhelm Leibniz και Leonhard Euler.

Το παράδοξο έχει πάρει το όνομά του από την επίλυσή του από τον Daniel Bernoulli, κάποτε κάτοικο της επώνυμης Ρωσικής πόλης, ο οποίος δημοσίευσε τα επιχειρήματά του στα Commentaries της Imperial Academy of Science of Saint Petersburg (Bernoulli, 1738). Αλλά το ίδιο το πρόβλημα εφευρέθηκε από τον ανιψιό του τον Nicolas Bernoulli, ο οποίος πρώτος το ανακοίνωσε στν προαναφερθείσα επιστολή της 9ης Σεπτεμβρίου 1713 (de Montmort, 1713).

Το παράδοξο έχει ως εξής: Ένα καζίνο προσφέρει ένα παίγνιο τύχης για ένα μοναδικό παίκτη όπου ένα αμερόληπτο νόμισμα πετιέται στον αέρα σε κάθε γύρο και ο παίκτης συνεχίζει όσο η ριξιά του φέρνει κορώνα. Στην αρχή ο παίκτης υποχρεώνεται να πληρώσει ένα ποσό έστω Α μονάδες (ευρώ, λίρες, κλπ) που το δίνει εφάπαξ για να λάβει μέρος στο παιχνίδι. Το καζίνο βάζει για πρώτη φορά ένα ποσό 2 μονάδων μετά την πρώτη ριξιά εφόσον ο παίκτης κερδίσει τον πρώτο γύρο, και υποχρεώνεται να διπλασιάζει το ποσό μετά από κάθε επόμενη ριξιά, όσο ο παίκτης κερδίζει, για όσο δηλαδή διάστημα φέρνει κορώνα. Μόλις ο παίκτης φέρει γράμματα και χάσει παίρνει το ποσό που έχει συγκεντρωθεί.

Αν είχε βάλει 10 ευρώ και χάσει από την πρώτη ριξιά δεν θα πάρει τίποτα πίσω, αλλιώς αν κερδίζει συνεχώς και χάσει στον (k+1) γύρο τότε θα πάρει 2^k ευρώ. Και βέβαια μπορεί να το παίξει απεριόριστες φορές κάτω από τους ίδιους όρους.

Συνεπώς ο παίκτης δεν κερδίζει τίποτα αν εμφανιστούν γράμματα στην 1η ριξιά, 2 ευρώ αν εμφανιστεί κορώνα στην 1η ριξιά και γράμματα στην 2η, 4 δολάρια αν εμφανιστεί κορώνα στις 2 πρώτες ριξιές και γράμματα στην 3η, 8 δολάρια αν εμφανιστεί κορώνα στις 3 πρώτες ριξιές και γράμματα στην 4η κ.ο.κ. Μαθηματικά, ο παίκτης κερδίζει 2^k ευρώ, όπου k ο αριθμός των ριξιών (ο k είναι φυσικός αριθμός, θετικός ακέραιος μεγαλύτερος του μηδενός). Ποια θα ήταν μια λογική τιμή που θα έπρεπε να πληρώσει κάποιος αρχικά εφάπαξ στο καζίνο για να του επιτραπεί να παίξει;

Για να απαντήσει κάποιος πρέπει να υπολογίσει την μέση αποζημίωση που θα δώσει το καζίνο: με πιθανότητα 1/2, ο παίκτης κερδίζει 2 δολάρια, με πιθανότητα 1/4 ο παίκτης κερδίζει 4 δολάρια, με πιθανότητα 1/8 ο παίκτης κερδίζει 8 8 δολάρια, κ.ο.κ. Οπότε στατιστικά η προσδοκώμενη τιμή (expected value) είναι ένα άθροισμα απείρων όρων:
E = (1/2).2 + (1/4).4 + (1/8).8 +…+ (1/2)^k.2^k+… = 1+1+1+1+… = infinite
Υποθέτοντας ότι το παιχνίδι μπορεί να συνεχιστεί επ’ άπειρο όσο οι ριξιές δίνουν κορώνα και ότι το καζίνο έχει απεριόριστους πόρους, το παραπάνω άθροισμα αυξάνει χωρίς όριο οπότε και η προσδοκώμενη τιμή κέρδους σε ένα παιχνίδι απεριόριστης διάρκειας και απεριόριστων δοκιμών και απεριόριστων πόρων εκ μέρους του καζίνου είναι άπειρα ευρώ. Συνεπώς αν είχε άπειρο χρόνο ζωής θα ήταν μαθηματικά λογικό να πληρώσει για να μπει στο παιγνίδι οσοδήποτε μεγάλο ποσό. Ο Ian Hacking θεωρεί απίθανο να βάλει κάποιος έστω και 25 δολάρια για να λάβει μέρος στο παιγνίδι, γεγονός που υπονοεί ότι θεωρεί απίθανο να κερδίσει και στους 5 πρώτους γύρους ώστε να κερδίσει 2^5=32 δολάρια και να έχει κάποιο κέρδος, υπερσκελίζοντας το αρχικό ποσό συμμετοχής. Δεν υπάρχει δηλαδή προθυμία συμμετοχής στην πράξη και εκεί είναι ο πυρήνας του παράδοξου, η απόκλιση ανάμεσα στην απροθυμία να πληρώσει κάποιος εφάπαξ ένα σεβαστό ποσό για να μπει στο παιγνίδι και τα άπειρα κέρδη που τα μαθηματικά του υπόσχονται. Ο Daniel Bernoulli έλεγε ότι: «η αξία ενός πράγματος δεν βασίζεται στην απόλυτη χρηματική του τιμή αλλά περισσότερο στην χρησιμότητά του. .. Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι το κέρδος 1000 δουκάτων είναι πολύ σημαντικότερη για ένα φτωχό παρά για ένα πλούσιο, παρότι και οι δυο κερδίζουν το ίδιο ποσό».>br>
Στο πνεύμα αυτό ο Daniel Bernoulli επέλυσε το παράδοξο ως εξής:

Όρισε μια λογαριθμική συνάρτηση χρηστικότητας (utility function), η οποία λαμβάνει υπόψη τον αντίκτυπο του κέρδους σε συνάρτηση με την περιουσία κάποιου, τότε ο κάθε όρος της παραπάνω απειροσειράς του προσδοκώμενου κέρδους γίνεται:
(1/2^k) [ ln (w+2^k-c) – ln(w) ] , όπου k ο αριθμός του γύρου, w η περιουσία του παίκτη και c το αρχικό ποσό συμμετοχής.
Τότε το άθροισμα των απείρων όρων συγκλίνει, δεν έχει πλέον άπειρη τιμή και μπορεί να βρεθεί η ελάχιστη τιμή του αρχικού ποσού συμμετοχής c που καθιστά το προσδοκώμενο κέρδος θετικό.

Ενδιαφέρον παρουσιάζει και το ίδιο ακριβώς πρόβλημα όταν οι πόροι του καζίνου ή του τραπεζίτη (bankroll of banker) είναι πεπερασμένοι. Τότε το προσδοκώμενο κέρδος είναι:
Ε = (1/2).2 + (1/4).4 + … + (1/2)^k.2^k+ … + (1/2)^(L-1).2^(L-1)+ + (1/2)^L.W+ (1/2)^(L+1).W+ … = (L-1) + W/ 2^L
όπου W το μέγιστο διαθέσιμο ποσό του τραπεζίτη (bankroll) και L-1=log2(W) ο μέγιστος αριθμός γύρων που μπορεί να καλύψει ο τραπεζίτης, καθώς κατά τον επόμενο γύρο L και τους επόμενους δεν διαθέτει το ποσό που πρέπει να πληρώσει, οπότε αναγκαστικά πληρώνει με το σύνολο των διαθέσιμων πόρων του W. Σε αυτήν την περίπτωση βλέπουμε ότι η απειροσειρά συγκλίνει οπότε έχουμε ακριβώς υπολογισμένο το προσδοκώμενο κέρδος του.

Με βάση τον παραπάνω τύπο, μπορούμε να υπολογίσουμε τι γίνεται στις διάφορες περιπτώσεις τραπεζιτών με το αντίστοιχο bankroll:
[1] Όταν το παιγνίδι διεξάγεται φιλικά μεταξύ ενός στον ρόλο του τραπεζίτη (με διαθέσιμο μέγιστο ποσό W=100 $) και κάποιου φίλου του στον ρόλο του πελάτη, τότε οι διαδοχικοί γύροι με αποτέλεσμα κορώνα που απαιτούνται για μέγιστο κέρδος είναι 6, οι επαναλήψεις εξ αρχής του παιγνίου ώστε ο παίκτης να κερδίσει με πιθανότητα 50% είναι 44 και ο εκτιμώμενος χρόνος 44 λεπτά. Το κέρδος είναι 7.56 $.
[2] Όταν το παιγνίδι διεξάγεται φιλικά με ένα εκατομμυριούχο στον ρόλο του τραπεζίτη (με διαθέσιμο δηλαδή μέγιστο ποσό W=1,000,000 $), τότε οι διαδοχικοί γύροι με αποτέλεσμα κορώνα που απαιτούνται για μέγιστο κέρδος είναι 19, οι επαναλήψεις εξ αρχής του παιγνίου ώστε ο παίκτης να κερδίσει με πιθανότητα 50% είναι 363,408 και ο εκτιμώμενος χρόνος 252 ημέρες. Το κέρδος είναι 20.91 $.
[3] Όταν το παιγνίδι διεξάγεται με τον Bill Gates στον ρόλο του τραπεζίτη (με διαθέσιμο δηλαδή μέγιστο ποσό W=79,200,000,000 $), τότε οι διαδοχικοί γύροι με αποτέλεσμα κορώνα που απαιτούνται για μέγιστο κέρδος είναι 36, οι επαναλήψεις εξ αρχής του παιγνίου ώστε ο παίκτης να κερδίσει με πιθανότητα 50% είναι 47,632,711,549 και ο εκτιμώμενος χρόνος 90,625 χρόνια. Το κέρδος είναι 37.15 $.
Παρά τις υπεράνθρωπες προσπάθειες το κέρδος είναι πάντα πάρα πολύ μικρό.