Category: Science.Math

Topic: Nikolai Lobachevsky

English version [Ακολουθεί και η ελληνική εκδοχή]

Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1 December [OS 20 November] 1792 - 24 February [OS 12 February] 1856) was a Russian mathematician and geometrist, best known for his work on hyperbolic geometry, a branch he essentially founded and was later called Lobachevskian geometry. He also contributed decisively to the study of Dirichlet integrals through the so-called Lobachevsky integrals. William Kingdon Clifford called Lobachevsky Copernicus of Geometry because of the revolutionary nature of his work.

Another achievement of Lobachevsky was the development of a method for approximating the roots of algebraic equations. This method is known as the Dandelin – Gräffe method , from the names of the 2 mathematicians who independently discovered it. In Russia it is called the Lobachevsky method. Lobachevsky defined the function as a match between 2 sets of real numbers (Peter Gustav Lejeune Dirichlet gave exactly the same definition independently shortly after Lobachevsky).





Ελληνική εκδοχή

Γενικά
Ο Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1 December [O.S. 20 November] 1792 – 24 February [O.S. 12 February] 1856) ήταν Ρώσος μαθηματικός και γεωμέτρης, κυρίως γνωστός από το έργο του πάνω στην υπερβολική γεωμετρία (hyperbolic geometry), ένα κλάδο που ουσιαστικά εκείνος ίδρυσε και γι’ αυτό ονομάστηκε Lobachevskian geometry. Επίσης συνεισέφερε καθοριστικά στη μελέτη των ολοκληρωμάτων Dirichlet μέσα από τον λεγόμενο τύπο ολοκληρωμάτων Lobachevsky. Ο William Kingdon Clifford αποκαλούσε τον Lobachevsky Κοπέρνικο της Γεωμετρίας λόγω του επαναστατικού χαρακτήρα του έργου του.

Η υπερβολική γεωμετρία (hyperbolic geometry) του Lobachevsky
Σχετικά με τις μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες πρέπει να σημειώσουμε ότι και πριν από τον Lobachevsky και άλλοι μαθηματικοί είχαν ασχοληθεί με την ισχύ ή όχι του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη, που δηλώνει ότι από ένα σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μια παράλληλη (η ακριβής αλλά ισοδύναμη διατύπωση είναι: όταν μια ευθεία τέμνει δυο άλλες έτσι ώστε οι εντός επί τα αυτά γωνίες να είναι μικρότερες σε άθροισμα των δυο ορθών, τότε αυτές εκτεινόμενες τέμνονται προς την πλευρά που οι γωνίες είναι μικρότερες των δυο ορθών). Είχαν μάλιστα προσπαθήσει να το αποδείξουν. Ο Lobachevsky λοιπόν θεώρησε ότι το 5ο αίτημα του Ευκλείδη δεν ισχύει και μπορούσε να το ισχυριστεί από τη στιγμή που μέχρι εκείνη τη στιγμή ήταν δεκτό αλλά έγινε ποτέ εφικτό να αποδειχθεί. Η υπόθεσή του αυτή απορρίφθηκε και δεν έγινε δεκτή προς δημοσίευση από την Ακαδημία Επιστημών της Αγ. Πετρούπολης.

Η γεωμετρία που θεμελιώνεται με αυτόν το τρόπο είναι μια μη-Ευκλείδεια γεωμετρία, εφόσον δεν ακολουθεί το 5ο αίτημα των Στοιχείων του Ευκλείδη και ονομάζεται Lobachevskian geometry ή υπερβολική γεωμετρία. Πιο συγκεκριμένα ο Lobachevsky θεωρεί ότι από ένα σημείο εκτός ευθείας περνούν άπειρες παράλληλες ευθείες. Στην υπερβολική γεωμετρία το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου προκύπτει ότι είναι μικρότερο των 180 μοιρών. Αυτή η τόσο παράξενη εκ πρώτης όψεως γεωμετρία έγινε το γόνιμο θεμέλιο πολλών θεωριών και εφαρμογών.

Πολλοί μαθηματικοί θεωρούν ότι η μελέτη μη-Ευκλείδεων γεωμετριών από τον Lobachevsky είχε επηρεαστεί από τον Gauss, πράγμα όμως που δεν είναι αληθές, καθώς, παρά την μεγάλη εκτίμηση του Gauss για το έργο του Lobachevsky δεν είχαν προσωπική επικοινωνία μεταξύ τους πριν τη συγκεκριμένη δημοσίευση. Αν και οι 3 μαθηματικοί: Gauss, Lobachevsky και Bolyai μπορούν να πιστωθούν με την ανακάλυψη της υπερβολικής γεωμετρίας, ο Gauss ποτέ δεν εξέδωσε τις ιδέες του, ενώ ο Lobachevsky ήταν ο πρώτος που παρουσίασε τις απόψεις του στη μαθηματική κοινότητα.

Στον 19ο αιώνα, η υπερβολική γεωμετρία ερευνήθηκε σε μεγάλη έκταση από τους János Bolyai, Nikolai Ivanovich Lobachevsky, Carl Friedrich Gauss και Franz Taurinus. Ο Gauss έγραψε το 1824 μια επιστολή στον Taurinus όπου του ανέφερε ότι κατασκεύασε μια τέτοια γεωμετρία αλλά τελικά δεν δημοσίευσε το έργο του. Ο Gauss έδωσε στη γεωμετρία αυτή το όνομα non-Euclidean geometry, με συνέπεια πολλοί σύγχρονοι συγγραφείς να θεωρήσουν τους δυο όρους non-Euclidean geometry και hyperbolic geometry< ως συνώνυμους. Ο Taurinus εξέδωσε αποτελέσματα που αφορούσαν την υπερβολική τριγωνομετρία το 1826, υποστήριξε ότι η υπερβολική γεωμετρία έχει εσωτερική συνέπεια αλλά συνέχισε να πιστεύει στον ιδιαίτερο ρόλο της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Το πλήρες σύστημα της υπερβολικής γεωμετρίας εκδόθηκε από τον Lobachevsky το 1829/1830, ενώ ο Bolyai την ανακάλυψε ανεξάρτητα και την εξέδωσε το 1832.

Η ανακάλυψη της υπερβολικής γεωμετρίας είχε σημαντικές φιλοσοφικές συνέπειες. Πριν την ανακάλυψη πολλοί φιλόσοφοι, όπως οι Hobbes και Spinoza) έβλεπαν τη δύναμη της φιλοσοφίας να βασίζεται στην γεωμετρική μέθοδο της συλλογιστικής των Στοιχείων του Ευκλείδη. Ο Kant στην Κριτική του Καθαρού Λόγου είχε φτάσει στο συμπέρασμα ότι ο χώρος (μιλώντας για τον γνωστό Ευκλείδειο χώρο) και ο χρόνος δεν είναι ανακαλύψεις του ανθρώπου ως αντικειμενικά χαρακτηριστικά του κόσμου, αλλά αντίθετα ένα αναπόφευκτο συστηματικό πλαίσιο οργάνωσης των εμπειριών μας.

Το magnum opus του Lobachevsky Geometriya ολοκληρώθηκε το 1823, αλλά δεν εκδόθηκε στην ακριβή αρχική του μορφή μέχρι το 1909, πολύ μετά τον θάνατό του. Ο Lobachevsky ήταν επίσης ο συγγραφέας του New Foundations of Geometry (1835–1838). Επίσης έγραψε το Geometrical Investigations on the Theory of Parallels (1840) και το Pangeometry (1855).

Σχετικά με τις εφαρμογές της υπερβολικής γεωμετρίας στη Φυσική, το υπερβολοειδές μοντέλο (hyperboloid model ή Lorentz model) αφορά ένα δισδιάστατο υπερβολοειδές εκ περιστροφής, ενταγμένο στο τρισδιάστατο χώρο Minkowski. Το μοντέλο αυτό πιστώνεται στον Poincaré, αλλά ο Reynolds λέει ότι ο Wilhelm Killing χρησιμοποίησε πρώτος αυτό το μοντέλο το 1885. Αυτό το μοντέλο έχει άμεση εφαρμογή στην ειδική σχετικότητα, καθώς ο τρισδιάστατος χώρος Minkowski είναι ένα μοντέλο του χωρόχρονου, όπου έχει κατασταλεί η μία χωρική διάσταση. Μπορεί κάποιος να θεωρήσει το υπερβολοειδές ότι αναπαριστάνει τα γεγονότα τα οποία διάφοροι κινούμενοι παρατηρητές, βγαίνοντας σε ένα χωρικό επίπεδο από ένα απλό σημείο, θα προσεγγίζουν σε ένα καθορισμένο κατάλληλο χρόνο.

Ελλειπτική γεωμετρία (elliptic geometry)
Η ελλειπτική γεωμετρία είναι ένα παράδειγμα γεωμετρίας όπου και πάλι δεν ισχύει το 5ο αίτημα του Ευκλείδη των παραλλήλων. Δυο γραμμές πάντοτε τέμνονται και μάλιστα σε ένα σημείο και όχι σε δυο, όπως συμβαίνει στη σφαιρική γεωμετρία (spherical geometry). Για τον λόγο αυτό η ελλειπτική γεωμετρία συχνά αναφέρεται και ως απλή ελλειπτική γεωμετρία, σε αντίθεση με τη σφαιρική γεωμετρία που αναφέρεται ως διπλή ελλειπτική γεωμετρία.

Στην Ευκλείδεια γεωμετρία ένα σχήμα μπορεί να επεκταθεί οσονδήποτε με αποτέλεσμα ένα όμοιο σχήμα. Στην ελλειπτική γεωμετρία δεν ισχύει κάτι τέτοιο. Για παράδειγμα, στο σφαιρικό μοντέλο η απόσταση μεταξύ δυο σημείων είναι αυστηρά μικρότερη του μισού της περιφέρειας της σφαίρας. Συνεπώς ένα ευθύγραμμο τμήμα δεν μπορεί να επεκταθεί απεριόριστα. Σε πολύ μικρή κλίμακα ενός τέτοιου χώρου ο χώρος είναι προσεγγιστικά (πρακτικά) επίπεδος δηλαδή Ευκλείδειος και τα σχήματα μπορούν να επεκτείνονται παραμένοντας σχεδόν όμοια.

Ένα μεγάλο μέρος της Ευκλείδεια Γεωμετρίας ισχύει και στην ελλειπτική γεωμετρία. Για παράδειγμα το 1ο αίτημα του Ευκλείδη ότι υπάρχει μια μοναδική γραμμή που να συνδέει δυο σημεία και το 4ο αίτημα ότι όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες, ισχύουν και στην ελλειπτική γεωμετρία. Επίσης η ελλειπτική γεωμετρία, όπως και η Ευκλείδεια γεωμετρία, περιγράφει ένα χώρο συνεχή, ομογενή, ισοτροπικό και απεριόριστο. Η ισοτροπία εξασφαλίζεται από το 4ο αίτημα. Η έλλειψη ορίων εξασφαλίζεται από το 2ο αίτημα της απεριόριστης επέκτασης ενός ευθυγράμμου τμήματος. Όσον αφορά το 3ο αίτημα του ορισμού ενός κύκλου από ένα κέντρο και μια ακτίνα, ισχύει θεωρώντας ως ακτίνα οποιοδήποτε ευθύγραμμο τμήμα.

Η κύρια διαφορά μεταξύ ελλειπτικής γεωμετρίας και Ευκλείδειας γεωμετρίας αφορά το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου, όπου στην ελλειπτική γεωμετρία είναι μεγαλύτερη των 180 μοιρών. Επίσης δεν ισχύει το Πυθαγόρειο θεώρημα, για παράδειγμα σε ένα δυνατό τρίγωνο με τις τρεις γωνίες του ορθές (άθροισμα γωνιών 270 μοίρες), το τρίγωνο αυτό είναι ισόπλευρο οπότε προφανώς δεν ισχύει η εξίσωση του Πυθαγορείου θεωρήματος: a^2+b^2=c^2. Ο λόγος της περιφέρειας προς την επιφάνεια ενός κύκλου είναι μικρότερος από αυτόν της Ευκλείδειας γεωμετρίας και γενικά η επιφάνεια και ο όγκος δεν κλιμακώνονται ως δεύτερη και Τρίτη δύναμη των γραμμικών διαστάσεων.

Ευκλείδεια Υπερβολική Ελλειπτική; Ποια είναι η πραγματική γεωμετρία του Σύμαπντος;
Επειδή η Ευκλείδεια γεωμετρία, η υπερβολική γεωμετρία και η ελλειπτική γεωμετρία είναι όλες εσωτερικά συνεπείς, ανακύπτει το ερώτημα: ποια είναι η πραγματική γεωμετρία του χώρου και αν είναι η υπερβολική ή η ελλειπτική, τότε ποια είναι η καμπυλότητα του χώρου; Ο Lobachevsky είχε επιχειρήσει να μετρήσει την καμπυλότητα του σύμπαντος, κατά πόσο δηλαδή το άθροισμα γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο, μικρότερο ή μεγαλύτερο των 180 μοιρών, ή ισοδύναμα αν υπάρχει μία, πολλές ή καμία παράλληλη. Για τον σκοπό αυτό μέτρησε την παράλλαξη (parallax) του Σείριου, ως ιδανικό σημείο για τον έλεγχο της παραλληλίας, αλλά συνειδητοποίησε ότι οι μετρήσεις δεν είχαν την αναγκαία ακρίβεια για να καταλήξει σε κάποιο συμπέρασμα. Υπολόγισε όμως ότι στην περίπτωση που το σύμπαν είναι υπερβολικό τότε η απόσταση θα πρέπει να είναι τουλάχιστον ένα εκατομμύριο φορές η διάμετρος της τροχιάς της γης (2000000 AU ή 10 parsec). Κάποιοι ισχυρίζονται ότι οι μετρήσεις του είναι μεθοδολογικά προβληματικές. Ο Henri Poincaré, με το νοητικό του πείραμα του σφαιρικού κόσμου έφτασε στο συμπέρασμα ότι η καθημερινή εμπειρία δεν αποκλείει κατ’ ανάγκη τις άλλες γεωμετρίες. Η γεωμετρική υπόθεση (geometrization conjecture) δίνει οκτώ πιθανά μοντέλα της θεμελιώδους γεωμετρίας του σύμπαντος.

Η γεωμετρία του Riemann
Ο Arthur Cayley έδωσε το έναυσμα για την μελέτη της ελλειτπικής γεωμετρίας με τη μελέτη του On the definition of distance. Μετά ακολούθησαν οι θεωρίες των Felix Klein και Bernhard Riemann οδηγώντας στην μη-Ευκλείδεια γεωμετρία και την γεωμετρία Riemannian.

Η γεωμετρία του Riemann ξεκίνησε με το όραμα του Bernhard Riemann όπως εκφράστηκε στην διάλεξή του Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen’ (Περί των Υποθέσεων επί των οποίων έχει βασιστεί η Γεωμετρία). Η γεωμετρία αυτή είναι μια πολύ ευρεία και αφηρημένη γενίκευση της διαφορικής γεωμετρίας επιφανειών στον τρισδιάστατο χώρο R^3. Η ανάπτυξη της Riemannian geometry οδήγησε στη σύνθεση ποικίλων αποτελεσμάτων που αφορούν τη γεωμετρία επιφανειών και τη μορφή των γεωδαισικών με τεχνικές που μπορούν να εφαρμοστούν στη μελέτη των διαφορικών πολλαπλοτήτων (differentiable manifolds) υψηλότερων διαστάσεων. Αυτή η γεωμετρία έδωσε τη δυνατότητα στην τυποποίηση της γενικής θεωρίας της σχετικότητας του Einstein, είχε αποφασιστική επίδραση στα μαθηματικά στη θεωρία ομάδων (group theory) και την αναπαραστατική θεωρία (representation theory), και ώθησε την ανάπτυξη της αλγεβρικής και διαφορικής τοπολογίας (algebraic and differential topology).

Επανερχόμενοι στον Lobachevsky
Ένα άλλο επίτευγμα του Lobachevsky ήταν η ανάπτυξη μιας μεθόδου για την προσέγγιση των ριζών των αλγεβρικών εξισώσεων. Η μέθοδος αυτή είναι γνωστή ως μέθοδος των Dandelin–Gräffe, από τα ονόματα των 2 μαθηματικών που την ανακάλυψαν ανεξάρτητα. Στη Ρωσία ονομάζεται μέθοδος Lobachevsky. Ο Lobachevsky έδωσε τον ορισμό της συνάρτησης ως αντιστοιχίας μεταξύ 2 συνόλων πραγματικών αριθμών (Ο Peter Gustav Lejeune Dirichlet έδωσε ακριβώς τον ίδιο ορισμό ανεξάρτητα λίγο μετά τον Lobachevsky).

Ο E. T. Bell έγραψε για την επίδραση του Lobachevsky στην εξέλιξη των μαθηματικών στο βιβλίο του 1937 Men of Mathematics:
«Η τόλμη της πρόκλησής του και το επιτυχημένο του αποτέλεσμα ενέπνευσαν διάφορους μαθηματικούς και γενικότερα επιστήμονες να αμφισβητούν άλλα ‘αξιώματα’ ή παραδεδεγμένους ‘μύθους’, όπως τον ‘νόμο’ της αιτιότητας, οι οποίοι, για αιώνες, φαίνονταν αναγκαίοι στην κανονική σκέψη, όπου φαινόταν και το αίτημα του Ευκλείδη προτού το απορρίψει ο Lobachevsky. Η πλήρης επίδραση της μεθόδου του Lobachevsky να στέκεται κριτικά απέναντι στα αξιώματα δεν έχει ακόμη γίνει πλήρως αισθητή. Δεν είναι υπερβολή να ονομάσουμε τον Lobachevsky ως τον Κοπέρνικο της Γεωμετρίας, αλλά η γεωμετρία είναι μόνο ένα μέρος του ευρύτερου πεδίου που ανανέωσε. Θα ήταν δίκαιο να οριστεί ως ο Κοπέρνικος όλης της σκέψης».