Category: Science.Math

Topic: John Wallis

English version [Ακολουθεί και η ελληνική εκδοχή]

John Wallis (3 December [OS 23 November] 1616 - 8 November [OS 28 October] 1703) was an English clergyman, mathematician and physicist who was considered along with others (Newton, Leibniz, etc.) as the founder of infitesimal calculus. Between 1643 and 1689 he served as the main cryptographer of the Parliament and later of the Royal Court. He is credited with the introduction of horizontal 8 as the infinity symbol. He also used the ratio 1 / infinity as the definition of the infitesimal. John Wallis was a contemporary of Newton and one of the greatest thinkers of early mathematical renaissance.

Wallis's main work, The Arithmetica Infinitorum, was published in 1656. In this study, the methods of analysis of Descartes and Cavalieri were systematized and extended, but some ideas were open to criticism. He began, after a brief overview on conic sections, with developing the standard semantics of forces, extending them from positive integers to express numbers.





Ελληνική εκδοχή

Ο John Wallis (3 December [O.S. 23 November] 1616 – 8 November [O.S. 28 October] 1703) ήταν Άγγλος κληρικός, μαθηματικός και φυσικός που θεωρείται μαζί με άλλους (Newton, Leibniz κ.ά.) θεμελιωτής του απειροστικού λογισμού (infitesimal calculus). Μεταξύ του 1643 και του 1689 υπηρέτησε ως κύριος κρυπτογράφος του Κοινοβουλίου και αργότερα της βασιλικής αυλής. Πιστώνεται με την εισαγωγή του οριζόντιου 8 ως συμβόλου του απείρου (infinity). Επίσης χρησιμοποίησε τον λόγο 1/infinity ως ορισμό του απειροστού. Ο John Wallis ήταν σύγχρονος του Newton και ένας από τους μεγαλύτερους διανοητές της πρώιμης αναγέννησης των μαθηματικών.

Το 1655, ο Wallis δημοσίευσε μια μελέτη πάνω στις κωνικές τομές, τις οποίες όρισε αναλυτικά. Αυτό είναι το ενωρίτερο βιβλίο όπου αυτές οι καμπύλες θεωρούνται και ορίζονται ως καμπύλες δευτέρου βαθμού. Βοήθησε στην καθαρότερη παρουσίαση της δουλειάς του René Descartes στην αναλυτική γεωμετρία που δεν ήταν εύκολα αντιληπτή. Στην Treatise on the Conic Sections ο Wallis εκλαΐκευσε το σύμβολο του απείρου. Έγραφε: «Υποθέτω ότι κάθε επίπεδο (ακολουθώντας την Γεωμετρία των Αδιαιρέτων/ Indivisibles του Cavalieri) παράγεται από ένα άπειρο αριθμό παραλλήλων γραμμών, ή θα προτιμούσα, από ένα άπειρο αριθμό παραλληλογράμμων του ίδιου πλάτους όπου το πλάτος του καθενός θα είναι απειροστά μικρό 1/infinity (όπου και εκθέτει το σύμβολο του απείρου), και τότε το πλάτος όλων μαζί θα είναι το πλάτος του σχήματος».

Το κυριότερο έργο του Wallis, το Arithmetica Infinitorum, εκδόθηκε το 1656. Στη μελέτη αυτή οι μέθοδοι ανάλυσης των Descartes και Cavalieri συστηματοποιήθηκαν και επεκτάθηκαν, αλλά κάποιες ιδέες ήταν ανοικτές στην κριτική. Ξεκίνησε, μετά από μια σύντομη επισκόπηση στις κωνικές τομές, αναπτύσσοντας την πρότυπη σημειολογία των δυνάμεων, επεκτείνοντάς τες από τους θετικούς ακέραιους στους ρητούς αριθμούς.

in 1659, ο Wallis εξέδωσε ένα φυλλάδιο που περιείχε τη λύση των προβλημάτων του κυκλοειδούς (cycloid) που είχε προταθεί από τον Blaise Pascal. Εκεί παρεμπιπτόντως εξήγησε πώς οι αρχές που τέθηκαν στο Arithmetica Infinitorum θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό του μήκους (rectification) των αλγεβρικών καμπυλών και έδωσε μια λύση για τον υπολογισμό του μήκους της ημικυβικής παραβολής x^3 = a.y^2, που είχε ανακαλυφθεί το 1657 από τον μαθητή του, τον William Neile. Καθώς όλες οι απόπειρες υπολογισμού του μήκους της έλλειψης και της παραβολής ήταν αναποτελεσματικές, είχε θεωρηθεί ότι δεν μπορούσε να υπολογιστεί το μήκος καμίας καμπύλης όπως πράγματι ο Descartes είχε οριστικά καταλήξει. Η λογαριθμική σπείρα είχε υπολογιστεί από τον Evangelista Torricelli και ήταν η πρώτη καμπύλη (εκτός του κύκλου) που είχε προσδιοριστεί, αλλά η επέκταση που έκαναν οι Neile και Wallis στις αλγεβρικές καμπύλες ήταν κάτι νέο. Το κυκλοειδές (cycloid) ήταν η επόμενη καμπύλη που υπολογίστηκε από τον Christopher Wren το 1658.

Η θεωρία της κρούσης των σωμάτων (collision of bodies) διατυπώθηκε από την Royal Society το 1668,μετά από την επιτυχή αποστολή όμοιων απαντήσεων από τους μαθηματικούς John Wallis, Christopher Wren, και Christian Huygens. Όλες εξαρτώντο από αυτό που σήμερα ονομάζουμε διατήρηση της ορμής (conservation of momentum), αλλά, ενώ οι Wren και Huygens περιόρισαν τη θεωρία τους στις ελαστικές κρούσεις (elastic collisions) εντελώς ελαστικών σωμάτων, ο Wallis εξέτασε επίσης και τις ανελαστικές κρούσεις (inelastic collisions) μη εντελώς ελαστικών σωμάτων.

Συχνά πιστώνεται και με την απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος κάνοντας χρήση ομοίων τριγώνων. Εν τούτοις, ο Thabit Ibn Qurra (AD 901), Άραβας μαθηματικός, είχε παράγει μια γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος εφαρμόσιμη σε όλα τα τρίγωνα πριν από 6 αιώνες. Είναι μια εύλογη υπόθεση ότι ο Wallis ήταν ενήμερος για το έργου του Thabit.

Ο Wallis είχε επίσης εμπνευστεί από τον μαθηματικό του Ισλάμ Sadr al-Tusi, γιο του Nasir al-Din al-Tusi, πιο ειδικά από του βιβλίο του al-Tusi που είχε γραφτεί το 1298 πάνω στο αίτημα των παραλλήλων. Το βιβλίο βασιζόταν στις σκέψεις του πατέρα του που είχε παρουσιάζει ένα από τα ενωρίτερα επιχειρήματα για μια μη-Ευκλείδεια γεωμετρία που δεν τηρούσε το 5ο αίτημα του Ευκλείδη περί των παραλλήλων. Αφού το διάβασε ο Wallis ανέπτυξε τις ιδέες του σχετικά με το αίτημα των παραλλήλων, προσπαθώντας να το αποδείξει επίσης με όμοια τρίγωνα. Βρήκε ότι το 5ο αίτημα του Ευκλείδη είναι ισοδύναμο με το διατυπωθέν από αυτόν, αποκαλούμενο σήμερα, αίτημα του Wallis. Αυτό το αίτημα λέει: «Σε μια δεδομένη πεπερασμένη ευθεία γραφή είναι πάντα δυνατόν να κατασκευάσουμε ένα τρίγωνο όμοιο με ένα δεδομένο τρίγωνο». Το αποτέλεσμα αυτό περιελήφθη σε ένα γενικό πλαίσιο αποπειρών απόδειξης του 5ου αιτήματος του Ευκλείδη από τα πρώτα 4 αιτήματα, που σήμερα πλέον γνωρίζουμε ότι είναι αδύνατο. Σε αντίθεση με άλλους συγγραφείς, συνειδητοποίησε ότι η απεριόριστη αύξηση ενός τριγώνου δεν μπορούσε να βασιστεί στα 4 πρώτα και μόνο αιτήματα του Ευκλείδη.

Μια άλλη πλευρά των μαθηματικών ικανοτήτων του Wallis ήταν η ικανότητά του να κάνει με το μυαλό του πολύπλοκους υπολογισμούς. Κοιμόταν άσχημα και συχνά έκανε μόνος του υπολογισμούς καθώς καθόταν άυπνος στον κρεβάτι του. Μια νύχτα υπολόγισε με το μυαλό του την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού 53 ψηφίων. Το πρωί υπαγόρευσε την 27 ψηφίων τετραγωνική ρίζα του αριθμού, από μνήμης. Ήταν ένα απίστευτο επίτευγμα που είχε ακουστεί πολύ και ο Henry Oldenburg, ο Γραμματέας της Royal Society, έστειλε μάλιστα ένα συνάδελφο να ανακαλύψει πώς ο Wallis το είχε καταφέρει.