Category: Science.Math.Physics

Topic: William Rowan Hamilton

English version [Ακολουθεί και η ελληνική εκδοχή]

Sir William Rowan Hamilton (4 August 1805 - 2 September 1865) was an Irish mathematician and physicist, Professor of Astronomy at Trinity College Dublin, and Royal Astronomer of Ireland, one of the greatest mathematicians of all time.

He worked on both pure mathematics and mathematics related to physics. He made important contributions to optics, classical engineering and algebra. Although Hamilton was not a physicist - he considered himself a pure mathematician - his work was of immense importance to physics, especially to the re-engineering of Newtonian engineering, now called Hamiltonian mechanics. This work has proved central to the modern study of classical field theories such as electromagnetism, but also to the later development of quantum mechanics. In pure mathematics he is mainly known as the inventor of quaternions . He also proved an important result for linear operators in the field of quaternions (a special case of generalized theorem now known as the Cayley-Hamilton theorem).





Ελληνική εκδοχή

Ο Sir William Rowan Hamilton (4 August 1805 – 2 September 1865) ήταν Ιρλανδός μαθηματικός και φυσικός, καθηγητής Αστρονομίας στο Trinity College του Δουβλίνου, και Βασιλικός Αστρονόμος της Ιρλανδίας, από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών.

Εργάστηκε τόσο στα καθαρά μαθηματικά όσο και στα μαθηματικά που αφορούν την φυσική. Έκανε σημαντικές συνεισφορές στην οπτική, την κλασική μηχανική και την άλγεβρα. Παρότι ο Hamilton δεν ήταν φυσικός – θεωρούσε εαυτό καθαρό μαθηματικό – το έργο του ήταν τεράστιας σημασίας για την φυσική, ειδικά για την επαναδιαμόρφωση της Νευτώνειας μηχανικής, που τώρα πλέον ονομάζεται Χαμιλτονιανή μηχανική (Hamiltonian mechanics). Το έργο αυτό αποδείχθηκε κεντρικό στη σύγχρονη μελέτη των κλασικών θεωριών πεδίου όπως του ηλεκτρομαγνητισμού, αλλά και στην ανάπτυξη αργότερα της κβαντομηχανικής. Στα καθαρά μαθηματικά είναι κυρίως γνωστός ως εφευρέτης των quaternions. Απέδειξε ένα σημαντικό αποτέλεσμα για τους γραμμικούς τελεστές στον χώρο των quaternions (ειδική περίπτωση του γενικευμένου θεωρήματος που είναι σήμερα γνωστό ως θεώρημα των Cayley–Hamilton).

Οι μαθηματικές σπουδές του Hamilton φαίνεται να αναλήφθηκαν και να έφτασαν σε πλήρη ανάπτυξη χωρίς καμία βοήθεια με αποτέλεσμα τα γραπτά του να μην ανήκουν σε καμία συγκεκριμένη σχολή. Ο Hamilton δεν ήταν μόνο ειδικός στους αριθμητικούς υπολογισμούς αλλά φαίνεται να διασκεδάζει περιστασιακά κάνοντας υπολογισμούς με μεγάλο αριθμό δεκαδικών ψηφίων. Στα 8 του ο Hamilton κίνησε το ενδιαφέρον του Zerah Colburn, του Αμερικανού ‘calculating boy’, που εξέθετε τότε τις ικανότητές του στο Δουβλίνο. Δυο χρόνια μετά, στα 10 του, ο Hamilton έπεσε πάνω σε ένα λατινικό αντίγραφο του Ευκλείδη, που το καταβρόχθισε με θέρμη και στα 12 του σπούδασε την Arithmetica Universalis του Νεύτωνα. Αυτό ήταν η εισαγωγή του στη σύγχρονη ανάλυση. Ο Hamilton άρχισε να διαβάζει το Principia, και μέχρι τα 16 του είχε κατανοήσει το μεγαλύτερο μέρος του, καθώς και μερικές πιο σύγχρονες εργασίες πάνω στην αναλυτική γεωμετρία και τον διαφορικό λογισμό.

Ο Hamilton ανέπτυξε την αρχή των αποκλίσεων (variational principle), που επαναδιατυπώθηκε αργότερα από τον Carl Gustav Jacob Jacobi. Επίσης πρότεινε το icosian game ή Hamilton puzzle με τη διαδρομή και μονοσήμαντη επίσκεψη πάνω στους κόμβους ενός δωδεκάεδρου με τον ίδιο κόμβο έναρξης και τερματισμού, το οποίο επέλυσε χρησιμοποιώντας τις τοπολογικές ιδέες του μονοπατιού του (Hamiltonian path).

Οι εξαιρετικές ανακαλύψεις του Hamilton που συνδέονται με την επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων 5ου βαθμού και η μεταγενέστερη διερεύνηση των αποτελεσμάτων του από τους N. H. Abel, G. B. Jerrard, και άλλους ερευνητές στην ίδια περιοχή, αποτελούν μια ακόμη μεγάλη συνεισφορά του στην επιστήμη. Υπάρχει επίσης ένα άρθρο του Hamilton πάνω στις συναρτήσεις διακύμανσης (fluctuating functions), μια περιοχή η οποία από την εποχή του Joseph Fourier, ήταν τεράστιας και όλο και αυξανόμενης σημασίας για τις εφαρμογές των μαθηματικών στη φυσική. Υπάρχει ακόμη η εξαιρετικά ευφυής εφεύρεση του οδογράφου (hodograph). Αλλά και από τις εκτεταμένες του έρευνες για την επίλυση συγκεκριμένων κατηγοριών φυσικών διαφορικών εξισώσεων, λίγες έχουν δημοσιευτεί, κατά διαστήματα, στο Philosophical Magazine.

Ας δούμε τώρα την τεράστιας σημασίας και αντίκτυπου διαμόρφωση εκ μέρους του της θεωρίας των quaternions ως επέκτασης των μιγαδικών αριθμών. Οι μιγαδικοί αναπαρίστανται ως σημεία στο δισδιάστατο επίπεδο. Ο Hamilton έψαχνε για τρόπους επέκτασης των μιγαδικών σε περισσότερες χωρικές διαστάσεις. Απέτυχε να βρει ένα χρήσιμο τρισδιάστατο σύστημα (στη σύγχρονη ορολογία ένα πραγματικό, τρισδιάστατο skew-field), αλλά εργαζόμενος στις 4 διαστάσεις δημιούργησε τα τετραδικά (quaternions). Σύμφωνα με τον ίδιο τον Hamilton, καθώς έκανε περίπατο με την σύζυγό του στις 16 Οκτωβρίου 1843 στο Royal Canal στο Δουβλίνο του ήρθε ξαφνικά η λύση υπό τη μορφή της εξίσωσης:

I^2 = j^2 = k^2 = i.j.k = −1

Ο Hamilton αμέσως χάραξε την εξίσωση με το σουγιά του στην πλευρά της γειτονικής Broom Bridge (που ο Hamilton ονόμαζε Brougham Bridge). Το συμβάν αυτό σηματοδοτεί την ανακάλυψη της ομάδας των τετραδικών (quaternion group).
Στα μαθηματικά, τα quaternions συνιστούν ένα αριθμητικό σύστημα επέκτασης των μιγαδικών. Ένα βασικό χαρακτηριστικό είναι ότι το γινόμενο δυο quaternions δεν είναι αντιμεταθετικό (noncommutative), δηλαδή a.b not equal to b.a. Ο Hamilton όρισε το quaternion ως πηλίκο δυο διανυσμάτων του τρισδιάστατου χώρου. Τα quaternions αναπαρίστανται ως εξής:

a + b.i + c.j + d.k

όπου τα a, b, c, d είναι πραγματικοί αριθμοί και τα i, j, k είναι οι βασικές μονάδες των quaternions.
Τα quaternions βρίσκουν εφαρμογή τόσο στα καθαρά όσο και στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, ειδικά για υπολογισμούς που περιλαμβάνουν τρισδιάστατες περιστροφές, όπως στα τρισδιάστατα computer graphics, computer vision, και κρυσταλλογραιφκή texture analysis. Σε πρακτικές εφαρμογές, μπορούν να χρησιμοποιηθούν μαζί με άλλες μεθόδους, όπως οι γωνίες Euler και οι μήτρες περιστροφής (rotation matrices), ή εναλλακτικά προς αυτές, ανάλογα με την εφαρμογή.

Ο Hamilton έκανε επίσης σημαντικές συνεισφορές στην οπτική και την κλασική μηχανική. Η πρώτη του ανακάλυψη ήταν ένα άρθρο που απέστειλε στον Dr. Brinkley το 1823, ο οποίος το παρουσίασε υπό τον τίτλο Caustics το 1824 στην Royal Irish Academy. Η επιτροπή παρότι αναγνώρισε την καινοτομία και την αξία της ιδέας του συνέστησαν περαιτέρω ανάπτυξη και απλοποίηση για να δημοσιευτεί. Μεταξύ 1825 και 1828 το άρθρο μεγάλωσε απίστευτα πολύ, λόγω των επιπρόσθετων λεπτομερειών που πρότεινε η επιτροπή. Έγινε όμως πιο κατανοητό και τα χαρακτηριστικά της νέας μεθόδου ήταν πλέον ορατά. Μέχρι αυτή τη περίοδο ο Hamilton δεν έδινε ιδιαίτερο βάρος στην Οπτική και έτσι σκέφτηκε αργότερα να εφαρμόσει τη μέθοδό του στη δυναμική.

Το 1827, ο Hamilton παρουσίασε μια θεωρία της λεγόμενης απλής συνάρτησης (single function), σήμερα γνωστή ως Hamilton's principal function, που συνενώνει τη μηχανική, την οπτική και τα μαθηματικά, και η οποία βοήθησε να θεμελιωθεί η κυματική θεωρία του φωτός. Την πρότεινε αρχικά στο τρίτο συμπλήρωμα του Systems of Rays, του 1832. Το άρθρο του στην Royal Irish Academy τελικά εκδόθηκε υπό τον τίτλο Theory of Systems of Rays (23 Απριλίου 1827), και το πρώτο μέρος του τυπώθηκε το 1828 στο Transactions of the Royal Irish Academy. Τα πιο σημαντικά περιεχόμενα του δεύτερου και του τρίτου μέρους εμφανίστηκαν στα τρία ογκώδη συμπληρώματα (του πρώτου μέρους) που εκδόθηκαν πάλι στις ίδιες Transactions, και στα δυο άρθρα On a General Method in Dynamics, που εμφανίστηκαν στο Philosophical Transactions το 1834 και το 1835. Στα άρθρα αυτά ο Hamilton ανέπτυξε την σημαντική του αρχή της Μεταβλητής Δράσης (Varying Action). Το πιο αξιοσημείωτο αποτέλεσμα αυτής της εργασίας είναι η πρόβλεψη ότι μια απλή ακτίνα φωτός εισερχόμενη σε ένα διαξονικό κρύσταλλο υπό ορισμένη γωνία αναδύεται ως ένας κούφιος κώνος ακτίνων. Η ανακάλυψη αυτή είναι και σήμερα γνωστή με το αρχικό της όνομα, ως κωνική διάθλαση (conical refraction).

Το βήμα αυτό από την οπτική στη δυναμική για την εφαρμογή της μεθόδου της Μεταβλητής Δράσης έγινε το 1827, και στην επικοινωνία του με την Royal Society, όπου εξέδωσε στις Philosophical Transactions το 1834 και 1835 δυο άρθρα στο αντικείμενο αυτό, δείχνει, όπως και στο Systems of Rays, την εξαιρετική χρήση των συμβόλων και μια ροή μαθηματικής γλώσσας ασυναγώνιστης. Το κοινό νήμα που διαπερνά όλο αυτό το έργο είναι η αρχή του της Μεταβλητής Δράσης. Παρότι βασίζεται στον λογισμό των αποκλίσεων (calculus of variations) και μπορούμε να πούμε ότι ανήκει στη γενική κατηγορία προβλημάτων που περιλαμβάνονται υπό την αρχή της ελάχιστης δράσης των Pierre Louis Maupertuis, Euler, Joseph Louis Lagrange, η ανάλυση του Hamilton αποκαλύπτει μια πολύ βαθύτερη μαθηματική δομή από αυτήν που είχε ως τότε κατανοηθεί, ειδικά τη συμμετρία μεταξύ θέσης και ορμής. Παραδόξως η τιμή για την ανακάλυψη της ποσότητας που τώρα ονομάζεται Λαγκρανζιανή (Lagrangian) στις λεγόμενες εξισώσεις Lagrange, ανήκει στον Hamilton. Οι εργασίες του Hamilton αύξησαν κατά πολύ την κατηγορία μηχανικών προβλημάτων που μπορούν να λυθούν, και πιθανόν αποτελούν την μεγαλύτερη προσθήκη που έλαβε χώρα στη δυναμική μετά τα επιτεύγματα του Νεύτωνα και του Lagrange. Πολλοί επιστήμονες, μεταξύ των οποίων οι Liouville, Jacobi, Darboux, Poincaré, Kolmogorov, και Arnold, έχουν επεκτείνει το έργο του Hamilton, μεγεθύνοντας έτσι τη γνώση μας στα πεδία της χηχανικής και των διαφορικών εξισώσεων.

Ενώ η μηχανική του Hamilton βασίζεται στις ίδιες φυσικές αρχές με αυτές των Newton και Lagrange, παρέχει μια ισχυρή νέα τεχνική στο πλαίσιο των εξισώσεων κίνησης. Τόσο οι προσεγγίσεις του Lagrange όσο και του Hamilton, που είχαν αρχικά αναπτυχθεί για την περιγραφή της κίνησης των διακριτών συστημάτων (discrete systems), αποδείχθηκαν κρίσιμες για τη μελέτη των συνεχών κλασικών συστημάτων (continuous classical systems) στη φυσική, και ακόμη και των κβαντικών μηχανικών συστημάτων. Πράγματι οι τεχνικές αυτές βρίσκουν χρήση στον ηλεκτρομαγνητισμό, την κβαντική μηχανική, την κβαντική θεωρία της σχετικότητας και τη θεωρία κβαντικού πεδίου.