Science.Math

Topic: François Viète

English version [Ακολουθεί και η ελληνική εκδοχή]

François Viète (Latin: Franciscus Vieta; 1540 - 23 February 1603), was a French mathematician who played a key role in shaping modern algebra through the innovative use of letters as parameters of equations. He was a lawyer and adviser to both Henry III and Henry II of France.

Vieta's solution to the Apolloniius problem had a direct impact throughout Europe, and Vieta gained the respect of many mathematicians for centuries. Vieta acknowledged that the number of solutions depends on the relative position of the three cycles and outlined the 10 resulting cases. Descartes completed the theorem of Apollonius' three cycles in 1643, leading to a 4th degree equation of 87 terms, each of which is a product of 6 factors.

The goal of mathematics was really twofold. It was necessary to produce an algebra in a more geometrical way, that is, with a strong foundation, and on the other hand it was necessary to give geometry a more algebraic meaning, allowing detailed calculations at the surface level. Vieta and Descartes fulfilled this double goal. Initially, Vieta gave algebra a foundation as strong as geometry. He then ended the algebra of processes ( al-Jabr and Muqabala ), creating the first symbolic algebra and arguing that it could solve all problems ( nullum non problem solvers ).

In his dedication to Isagoge to Catherine de Parthenay , Vieta writes for his New Algebra: "These new things appeared abruptly and informally and must be refined over the coming centuries. The art I present is new, but in fact so old, so corrupted and degenerated by the barbarians, that I thought it necessary to introduce a completely new form into it, to think and publish a new dictionary, having been released by its all pseudo-technical terms ... "

Vieta was not aware of the point of multiplication (x), introduced by the English mathematician, cleric and occultist William Oughtred in 1631, nor of the symbol of equality (=), a remarkable fact as it was introduced and already used by the Welsh mathematician and physicist Robert Recorde , along with the pre-existing addition symbol (+) as early as 1557.

Vieta was the first mathematician to introduce representations of the quantities of the problem and not just the unknown. As a result, his algebra was no longer limited to formulating rules, but was based on an effective computer algebra , where functions operate on letters and results can be retrieved at the end of computations with a simple replacement. This approach, which is at the heart of the modern algebraic method, was a fundamental step in the development of mathematics. At this point, Vieta marks the end of the medieval algebra (from Al-Khwarizmi to Stevin ) and opens the modern era.





Ελληνική εκδοχή

Ο François Viète (Latin: Franciscus Vieta; 1540 – 23 February 1603), ήταν Γάλλος μαθηματικός που επέδρασε καθοριστικά στη διαμόρφωση της σύγχρονης άλγεβρας, μέσω της καινοτομικής χρήσης των γραμμάτων ως παραμέτρων των εξισώσεων. Ήταν δικηγόρος και σύμβουλος τόσο του Ερρίκου Γ’ όσο και του Ερρίκου Δ’ της Γαλλίας.

Το 1572, ο Viète ήταν στο Παρίσι κατά τη διάρκεια της σφαγής του Αγ. Βαρθολομαίου. Το 1576 η επιτυχία του στη δίκη μεταξύ του Duke of Nemours και της Françoise de Rohan, προς όφελος της τελευταίας, τον έθεσε στο στόχαστρο της επίμονης Καθολικής Λίγκας. Μεταξύ των 1583 και 1585, η Λίγκα έπεισε τον Ερρίκο Γ’ να απολύσει τον Viète, κατηγορούμενο για συμπάθειες με την Προτεσταντική υπόθεση. Ο Vieta αποσύρθηκε στο Fontenay και το Beauvoir-sur-Mer, με την François de Rohan. Εκεί επί 4 χρόνια αφιερώθηκε στα μαθηματικά, γράφοντας την Analytical Art ή New Algebra. Το 1582, ο Πάπας Γρηγόριος ΙΓ’ εξέδωσε την βούλα του Inter gravissimas και έδωσε εντολή στους Καθολικούς βασιλείς να συμμορφωθούν με την αλλαγή του Ιουλιανού ημερολογίου που είχε βασιστεί στους υπολογισμούς του Καλαβρού Aloysius Lilius ή Luigi Lilio ή Luigi Giglio. Το έργο του συνεχίστηκε μετά τον θάνατο του από τον επιστημονικό σύμβουλο του Πάπα, τον Christopher Clavius. Ο Viète κατηγόρησε τον Clavius, σε μια σειρά από πάμφλετ (1600), για εισαγωγή διορθώσεων και ενδιάμεσων ημερών με αυθαίρετο τρόπο καθώς και για παρεξήγηση των έργων του προκατόχου του, ειδικά στο υπολογισμό του σεληνιακού κύκλου. Ο Viète έδωσε ένα νέο ημερολογιακό πίνακα, τον οποίο έντεχνα απέρριψε ο Clavius μετά τον θάνατο του Vieta, στο έργο του Explicatio (1603).

Τον καιρό του Ερρίκου Δ’, ένας Ολλανδός ονόματι Adrianus Romanus (Adriaan van Roomen), σπουδαγμένος μαθηματικός, αλλά όχι τόσο δυνατός όσο θεωρούσε, εξέδωσε μια πραγματεία όπου υπέβαλε προς επίλυση μια εξίσωση 45ου βαθμού σε όλους τους μαθηματικούς της Ευρώπης, αλλά κανένα Γάλλο. Λίγο αργότερα, ο Ολλανδός πρεσβευτής επισκέφθηκε τον βασιλέα στο Fontainebleau. Ο Ερρίκος είχε την ικανοποίηση να του δείξει όλες τις ομορφιές της χώρας του και του είπε ότι οι άνθρωποι ήταν εξαιρετικός σε κάθε επάγγελμα σε κάθε μέρος του βασιλείου του. ‘Αλλά Κύριε’, του είπε ο πρεσβευτής, ‘σύμφωνα με τον Adrianus Romanus δεν έχετε κανένα μαθηματικό, καθώς δεν ανέφερε κανένα στον κατάλογό του’. ‘Ναι έχουμε’, είπε ο βασιλέας, ‘έχω έναν εξαιρετικό άνδρα. Πηγαίνετε και φέρετε τον Monsieur Viette,' διέταξε. Ο Vieta, που ήταν στο Fontainebleau, έφτασε αμέσως. Ο πρεσβευτής του έδειξε το βιβλίο με το πρόβλημα του Adrianus Romanus και ο Vieta, πολύ γρήγορα κατέγραψε με ένα μολύβι σε ένα χαρτί δυο λύσεις. Μέχρι το απόγευμα του είχε στείλει 22 ακόμη λύσεις.

Το 1595, ο Vieta εξέδωσε την απάντησή του στο πρόβλημα που είχε θέσει ο Romanus, και υπέβαλε και αυτός προς επίλυση ένα παλαιό πρόβλημα του Απολλωνίου του Περγαίου, την εύρεση ενός κύκλου εφαπτόμενου σε τρεις δεδομένους κύκλους. Ο Romanus πρότεινε μια λύση χρησιμοποιώντας μια υπερβολή, με την οποία δεν συμφώνησε ο Vieta, καθώς επιθυμούσε μια λύση στο πλαίσιο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας με κανόνα και διαβήτη.

Ο Vieta εξέδωσε τη λύση του το 1600 στο έργο του Apollonius Gallus. Στο άρθρο του αυτό, ο Vieta έκανε χρήση του κέντρου ομοιότητας των δυο κύκλων. Σύμφωνα με τον De Thou, ο Romanus άφησε αμέσως το Πανεπιστήμιο του Würzburg, σέλωσε το άλογό του και πήγε στο Fontenay-le-Comte, όπου ζούσε ο Vieta. Έζησε μαζί του ένα μήνα και έμαθε τις μεθόδους της νέας άλγεβρας. Οι δυο άνδρες έγιναν φίλοι και ο Vieta πλήρωσε όλα τα έξοδα του Romanus πριν την επιστροφή του στο Würzburg.

Η λύση του Vieta στο Απολλώνιο πρόβλημα είχε άμεσο αντίκτυπο σε όλη την Ευρώπη και ο Vieta κέρδισε τον σεβασμό πολλών μαθηματικών για αιώνες. Ο Vieta αναγνώρισε ότι ο αριθμός των λύσεων εξαρτάται από τη σχετική θέση των τριών κύκλων και περιέγραψε συνοπτικά τις 10 προκύπτουσες περιπτώσεις. Ο Descartes συμπλήρωσε το 1643 το θεώρημα των τριών κύκλων του Απολλωνίου, οδηγούμενος σε μια εξίσωση 4ου βαθμού με 87 όρους, ο καθένας από τους οποίους είναι γινόμενο 6 παραγόντων.

Τον καιρό του Vieta, Ιταλοί μαθηματικοί όπως ο Luca Pacioli, ο Scipione del Ferro, ο Niccolò Fontana Tartaglia, ο Ludovico Ferrari, και ειδικά ο Raphael Bombelli (1560) όλοι ανέπτυξαν τεχνικές για την επίλυση εξισώσεων του τρίτου βαθμού. Από την άλλη, ο Ουαλλός μαθηματικός Robert Recorde (1550) και ο Ολλανδός Simon Stevin (1581) έδωσαν μια πρώιμη αλγεβρική σημειογραφία, τη χρήση των δεκαδικών και τους εκθέτες. Εν τούτοις οι μιγαδικοί αριθμοί παρέμεναν το πολύ ένας φιλοσοφικός τρόπος σκέψης και ο Descartes, σχεδόν ένα αιώνα μετά, τους χρησιμοποίησε ως φανταστικούς αριθμούς. Μόνο θετικές λύσεις λαμβάνοντας υπόψη και η χρήση της γεωμετρικής απόδειξης ήταν συνήθης.

Ο στόχος των μαθηματικών ήταν πράγματι διπλός. Ήταν αναγκαίο να παραχθεί μια άλγεβρα με ένα περισσότερο γεωμετρικό τρόπο, δηλαδή με ισχυρή θεμελίωση και από την άλλη ήταν αναγκαίο να δοθεί στη γεωμετρία ένα περισσότερο αλγεβρικό νόημα, επιτρέποντας αναλυτικούς υπολογισμούς στο επίπεδο. Οι Vieta και Descartes εκπλήρωσαν τον διπλό αυτό στόχο. Αρχικά, ο Vieta έδωσε στην άλγεβρα μια θεμελίωση τόσο ισχυρή όσο στη γεωμετρία. Στη συνέχεια τερμάτισε την άλγεβρα των διαδικασιών (al-Jabr και Muqabala), δημιουργώντας την πρώτη συμβολική άλγεβρα και υποστηρίζοντας ότι με αυτήν μπορούν να λυθούν όλα τα προβλήματα (nullum non problema solvere).

Στην αφιέρωσή του στην Isagoge to Catherine de Parthenay, γράφει ο Vieta για τη Νέα του Άλγεβρα: "Αυτά τα πράγματα που είναι καινούργια τίθενται στην αρχή απότομα και άτυπα και πρέπει να εξευγενιστούν και να τελειοποιηθούν τους επόμενους αιώνες. Προσοχή! Η τέχνη που παρουσιάζω είναι νέα, αλλά στην πραγματικότητα τόσο παλιά, τόσο κατεστραμμένο και εκφυλισμένο από τους βαρβάρους, που θεώρησα αναγκαίο, για να εισάγω μια ολοκληρωτικά νέα μορφή σε αυτήν, να σκεφτώ και να εκδώσω ένα νέο λεξικό, έχοντας απελευθερωθεί από όλους τους ψευδο-τεχνικούς της όρους..."

Ο Vieta δεν γνώριζε το σημείο του πολλαπλασιασμού (x), που εισήχθη από τον Άγγλο μαθηματικό, κληρικό και αποκρυφιστή William Oughtred το 1631, ούτε το σύμβολο της ισότητας (=), γεγονός αξιοσημείωτο καθώς αυτό είχε εισαχθεί και χρησιμοποιείτο από τον Ουαλλό μαθηματικό και φυσικό Robert Recorde, μαζί με το προ-υπάρχον σύμβολο της πρόσθεσης (+) ήδη από το 1557.

Ο Vieta δεν είχε πολύ χρόνο και έκανε χρόνια ολόκληρα να δημοσιεύσει το έργο του, λόγω και της σχολαστικότητας που τον χαρακτήριζε. Όσον αφορά τη σημειολογία της νέας του άλγεβρας έκανε την επιλογή να διαχωρίσει παραμέτρους και μεταβλητές, χρησιμοποιώντας σύμφωνα για τις παραμέτρους και φωνήεντα για τις μεταβλητές των αγνώστων. Σε αυτή τη σημειολογία πιθανόν ακολούθησε κάποιους συγχρόνους του, όπως τον Petrus Ramus, ο οποίος αναπαριστούσε τα σημεία των γεωμετρικών σχημάτων με φωνήεντα, κάνοντας χρήση των συμφώνων R, S, T, κλπ. μόνο όταν τα φωνήεντα εξαντλούνταν. Αυτή η επιλογή δεν ήταν καλή ως προς την αναγνωσιμότητα κι έτσι ο Descartes προτίμησε να χρησιμοποιεί τα πρώτα γράμματα για την αναπαράσταση των παραμέτρων και των τελευταίων για τους αγνώστους, επιλογή που διατηρείται μέχρι σήμερα.

Ο Vieta παρέμεινε επίσης δέσμιος του καιρού του από πολλές απόψεις: Ήταν κληρονόμος του Ramus και δεν αντιμετώπιζε τα μήκη ως αριθμούς. Απέτυχε να αναγνωρίσει τους μιγαδικούς αριθμούς του Bombelli και είχε ανάγκη να διπλο-τσεκάρει τις αλγεβρικές του απαντήσεις μέσω γεωμετρικών κατασκευών. Αν και είχε πλήρως συνειδητοποιήσει ότι η νέα του άλγεβρα ήταν επαρκής να δίνει λύσεις, η παραχώρησή του αυτή σπίλωσε τη φήμη του.

Εν τούτοις, ο Vieta έκανε πραγματικά πολλές καινοτομίες: τη διωνυμική φόρμουλα, την οποία μετά παρέλαβαν οι Pascal και Newton, και τους συντελεστές του ενός πολυωνύμου ως άθροισμα και γινόμενο των ριζών, τον λεγόμενο τύπο του Vieta (Vieta formula).

Ο Vieta ήταν επίσης εξασκημένος σε σύγχρονες πρακτικές, με σκοπό την απλοποίηση των εξισώσεων με την αντικατάσταση των αρχικών άγνωστων ποσοτήτων με νέες ποσότητες σε συγκεκριμένη σχέση με τις αρχικές, Μια άλλη εργασία του, το Recensio canonica effectionum geometricarum, είναι πρωτοποριακή καθώς είναι το πρώτο έργο στον χώρο της αποκαλούμενης αργότερα αλγεβρικής γεωμετρίας που ανέπτυξε ο Descartes. Το Recensio είναι μια συλλογή από κανόνες για το πώς μπορούν να κατασκευαστούν αλγεβρικές εκφράσεις με την χρήση μόνο κανόνα και διαβήτη. Επίσης η λεγόμενη αρχή της ομοιογένειας (principle of homogeneity), που διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον Vieta ήταν πολύ μπροστά από την εποχή του, αλλά είναι σήμερα τόσο προφανής που πολλοί μελετητές την προσπερνούν. Σύμφωνα με την αρχή αυτή δεν μπορούν να προστεθούν παρά μόνο γραμμές με γραμμές (μονοδιάστατα), επιφάνειες με επιφάνειες (δισδιάστατα) και όγκοι με όγκους (τρισδιάστατα). Είναι μάλιστα αμφίβολο κατά πόσο ασχολούνταν με δυνάμεις μεγαλύτερες του 3, καθώς θα αντιστοιχούσε σε αντικείμενα περισσοτέρων των 3 διαστάσεων, κάτι μη κατανοήσιμο. Αυτή η αρχή χρησιμοποιούνταν από τους έλληνες συγγραφείς της κλασικής περιόδου, αλλά μεταγενέστεροι μαθηματικοί, όπως ο Ήρων και ο Διόφαντος επεχείρησαν να θεωρήσουν γραμμές και επιφάνειες ως απλούς αριθμούς, που θα μπορούσαν να συνδυαστούν αθροιζόμενοι. Ο Vieta συνέλαβε μεθόδους για τη γενική επίλυση εξισώσεων 2ου, 3ου και 4ου βαθμού, διαφορετικές από αυτές των Scipione dal Ferro και Lodovico Ferrari, με τις οποίες δεν είχε εξοικειωθεί. Εφηύρε μια προσεγγιστική αριθμητική επίλυση εξισώσεων 2ου και 3ου βαθμού, όπου θα πρέπει να είχε προηγηθεί ο Leonardo of Pisa αλλά με μια μέθοδο ολοκληρωτικά χαμένη.

Κυρίως όμως ο Vieta ήταν ο πρώτος μαθηματικός που εισήγαγε αναπαραστάσεις των ποσοτήτων του προβλήματος και όχι μόνο των αγνώστων. Σαν αποτέλεσμα, η άλγεβρά του δεν ήταν πλέον περιορισμένη στην διατύπωση κανόνων, αλλά βασιζόταν σε μια αποτελεσματική υπολογιστική άλγεβρα (computer algebra), όπου οι λειτουργίες ενεργούν πάνω σε γράμματα και τα αποτελέσματα μπορούν να ανακτηθούν στο τέλος των υπολογισμών με μια απλή αντικατάσταση. Αυτή η προσέγγιση, που είναι η καρδιά της σύγχρονης αλγεβρικής μεθόδου, ήταν θεμελιώδες βήμα στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Στο σημείο αυτό, ο Vieta σημειώνει το τέλος της μεσαιωνικής άλγεβρας (από τον Al-Khwarizmi στον Stevin) και ανοίγει την σύγχρονη περίοδο.

Όντας πλούσιος, ο Vieta ξεκίνησε να δημοσιεύει με δικά του έξοδα για λίγους φίλους και λογίους σε κάθε σχεδόν χώρα της Ευρώπης τη συστηματική παρουσίαση της μαθηματικής θεωρίας του, την οποία ονομάζει συμβολική λογιστική (species logistic) (από το species ως σύμβολο) ή τέχνη του υπολογισμού πάνω σε σύμβολα (1591).

Περιέγραψε 3 φάσεις της πορείας επίλυσης ενός προβλήματος:
Στο πρώτο βήμα, συνοψίζει το πρόβλημα στη μορφή μιας εξίσωσης. Ο Vieta αποκαλεί αυτή τη φάση Zetetic (ζητητική). Συμβολίζει τις γνωστές ποσότητες με σύμφωνα (B, C, D, …) και τις αγνωστες ποσότητες με τα φωνήεντα (A, E, …)
Στο δεύτερο βήμα κάνει ανάλυση του προβλήματος. Ονομάζει αυτή τη φάση Poristic (πορισματική). Εδώ οι μαθηματικοί πρέπει να ασχοληθούν με την εξίσωση και να την επιλύσουν. Δίνει το πόρισμα του προβλήματος, από το οποίο μπορούμε να μεταβούμε στο επόμενο βήμα.
Στο τρίτο και τελευταίο βήμα, την εξηγητική ανάλυση (exegetical analysis), επιστρέφει στο αρχικό πρόβλημα και παρουσιάζει μια λύση μέσω μιας γεωμετρικής ή αριθμητικής κατασκευής, βασισμένης στο πόρισμα.

Μεταξύ των προβλημάτων που αντιμετωπίστηκαν από τον Vieta με αυτή τη μέθοδο είναι η πλήρης επίλυση των τετραγωνικών εξισώσεων της μορφής x^2+b.x=c και των εξισώσεων 3ου βαθμού της μορφής x^3+a.x=b (ο Vieta τις ανήγαγε σε τετραγωνικές εξισώσεις). Γνώριζε τη σύνδεση μεταξύ των ριζών μιας εξίσωσης (άθροισμα και γινόμενο) και των συντελεστών των διαφορετικών δυνάμεων της άγνωστης ποσότητας. Ανακάλυψε τον τύπο για το ημίτονο μιας πολλαπλής γωνίας μέσω του ημιτόνου της απλής γωνίας και λαμβάνοντας υπόψη την περιοδικότητα του ημιτόνου (1593).