Topic: Carl Friedrich Gauss

English version [Ακολουθεί και η ελληνική εκδοχή]

Carl Friedrich Gauss (30 Apr 1777 - 23 Feb 1855) was a German mathematician, physicist and astronomer, characterized by many as the greatest mathematician since antiquity, with discoveries and applications in multiple fields.

Gauss proclaimed that he absolutely believed in the afterlife, saying: "The whole world would have no meaning, all creation would be an absurdity without immortality".

One of his biographers, Waldo Dunnington, described Gauss's religious views as follows: “His immovable idea of personal continuity after death and his complete faith in a final regulator of things, an eternal, righteous, omnipotent, omniscient god. , were the basis of his religious life, fully harmonized with his scientific research”.

He proved the following theorems:

Fermat's polygonal number theorem for n = 3 (any positive integer can be expressed as the sum of three or less triangular numbers, as the sum of four or less square numbers, as the sum of five or less pentagonal numbers, etc.)
Fermat's theorem for n = 5 (there are no 3 positive integers a, b, and c satisfying the equation:
a^n + b^n = c^n
for any value of n> 2. cases n = 1 and n = 2 have infinite solutions, which has been known since antiquity)

The Descartes rule of signs: the number of positive roots of a polynomial is the maximum number of sign changes of the sequence of polynomials, omitting the zero coefficients - thus if the number of sign changes is 1, then the positives are 0 or 1.

Kepler's conjecture: Of all the placements of spheres in contact in the various possible formations, those that give the highest density, that is, they take up less space, are the cubic and the hexagonal one, while the density equals to: π / (3.sqrt (2)) = 0.74 = 74 %. The problem was entrusted to Kepler to find the most cost-effective shells in the boats. Kepler announced the solution, while Gauss proved it.

He also discovered an algorithm for calculating Easter date, and the Cooley – Tukey FFT algorithm for calculating the Fourier Discrete Transform, 160 years before Cooley and Tukey.

His other key contributions to mathematics are:

Gaussian functions e^x are used to describe the probability density function of a random variable normal distribution.

The Gaussian integral, also known as the Euler – Poisson integral, is the integral of the Gaussian function across the straight line. Abraham de Moivre first discovered this type of integral in 1733, and it is Gauss who published it.

Ελληνική εκδοχή

Ο Carl Friedrich Gauss (30 Απρ 1777 – 23 Φεβ 1855) ήταν Γερμανός μαθηματικός, φυσικός και αστρονόμος, που χαρακτηρίζεται από πολλούς ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός μετά την αρχαιότητα, με ανακαλύψεις και εφαρμογές σε πολλούς τομείς.

Ο Gauss διακήρυττε ότι πίστευε απόλυτα στην μετά θάνατον ζωή, λέγοντας: «Ο κόσμος όλος δεν θα είχε κανένα νόημα, η όλη δημιουργία θα ήταν ένας παραλογισμός χωρίς την αθανασία».

Ένας από τους βιογράφους του, ο Waldo Dunnington, περιέγραψε τις θρησκευτικές απόψεις του Gauss ως εξής: «Η αμετακίνητη ιδέα του για προσωπική συνέχεια μετά θάνατο και η απόλυτη πίστη του σε ένα τελικό ρυθμιστή των πραγμάτων, ένα αιώνιο, δίκαιο, παντοδύναμο, παντογνώστη θεό, αποτελούσαν τη βάση της θρησκευτικής του ζωής, εναρμονιζόταν πλήρως με τις επιστημονικές του έρευνες.

Απέδειξε τα παρακάτω θεωρήματα:

Το πολυγωνικό θεώρημα αριθμών του Fermat για n = 3 (κάθε θετικός ακέραιος μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα τριών ή λιγότερων τριγωνικών αριθμών, ως το άθροισμα τεσσάρων ή λιγότερων τετραγωνικών αριθμών, ως το άθροισμα πέντε ή λιγότερων πενταγωνικών αριθμών, κλπ)
Το θεώρημα του Fermat για n = 5 (δεν υπάρχουν 3 θετικοί ακέραιοι a, b, and c που να ικανοποιούν την εξίσωση:
a^n + b^n = c^n
για κάθε τιμή του n > 2. Οι περιπτώσεις n = 1 και n = 2 έχουν άπειρες λύσεις, κάτι που ήταν γνωστό από την αρχαιότητα).

Ο κανόνας προσήμων του Descartes: ο αριθμός των θετικών ριζών ενός πολυωνύμου είναι το πολύ ο αριθμός των αλλαγών προσήμου της ακολουθίας των συντελεστών του πολυωνύμου, παραλείποντας τους μηδενικούς συντελεστές – συνεπώς αν ο αριθμός αλλαγών προσήμου είναι 1, τότε οι θετικές ρίζες είναι 0 ή 1.

Η εικασία του Kepler: από τις τοποθετήσεις σφαιρών σε επαφή σε διάφορους σχηματισμούς αυτές που δίνουν τη μεγαλύτερη πυκνότητα, πιάνουν δηλαδή λιγότερο χώρο, είναι η κυβική και η εξαγωνική και η πυκνότητα είναι π/(3.sqrt(2) ) = 0.74 = 74%. Το πρόβλημα είχε ανατεθεί στον Kepler για την εύρεση της οικονομικότερης τοποθέτησης οβίδων στα καράβια. Η λύση δόθηκε από τον Kepler, αλλά η απόδειξη δόθηκε από τον Gauss.

Επίσης ανακάλυψε ένα αλγόριθμο για τον υπολογισμό της ημερομηνίας του Πάσχα, και τον αλγόριθμο Cooley–Tukey FFT για τον υπολογισμό του Διακριτού Μετασχηματισμού Fourier/ FFT, 160 χρόνια πριν τους Cooley και Tukey.

Άλλες καθοριστικές συνεισφορές του στα Μαθηματικά είναι:

Οι Gaussian functions e^x χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής κανονικής κατανομής.

Το Gaussian integral, γνωστό και ως Euler–Poisson integral, είναι το ολοκλήρωμα της Gaussian function πάνω σε όλη την ευθεία των πραγματικών. Ο Abraham de Moivre ανακάλυψε αρχικά αυτόν τον τύπο ολοκληρώματος το 1733, ενώ ο Gauss είναι αυτός που τον δημοσίευσε.