Category: Philosophy. Logic

Topic: George Boole

English version [Ακολουθεί και η ελληνική εκδοχή]

George Boole (November 2, 1815 - December 8, 1864) was an English self-taught mathematician, philosopher and logician, professor of mathematics at Queen's College, Cork, Ireland. He has worked in the fields of differential equations and algebraic logic , a branch founded by him. He is mainly known as the author of Laws of Thought on Which are Found the Mathematical Theories of Logic and Probability (1854), which contains the new algebra, called Boolean . The logic of this algebra was the foundation of the Boolean operators of computer science.





Ελληνική εκδοχή

Ο George Boole (2 Νοεμ. 1815 – 8 Δεκ. 1864) ήταν ένας Άγγλος κυρίως αυτοδίδακτος μαθηματικός, φιλόσοφος και λογικιστής, καθηγητής μαθηματικών στο Queen's College, Cork στην Ιρλανδία. Εργάστηκε στα πεδία των διαφορικών εξισώσεων και της αλγεβρικής λογικής (algebraic logic), ενός κλάδου που θεμελιώνεται από αυτόν. Είναι κυρίως γνωστός ως συγγραφέας του Laws of Thought on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (1854), που περιέχει τη νέα άλγεβρα, που ονομάστηκε Boolean. Η λογική αυτής της άλγεβρας αποτέλεσε τα θεμέλια των τελεστών Boolean της επιστήμης των υπολογιστών.

Ο Boole ποτέ δεν είχε την πρόθεση να ασκήσει κριτική ή να διαφωνήσει με τις κύριες αρχές της Αριστοτελικής λογικής. Κυρίως ήθελε να τη συστηματοποιήσει, να τη θεμελιώσει και να επεκτείνει το πεδίο των εφαρμογών της.

Η αρχική εμπλοκή του Boole στη Λογική ενεργοποιήθηκε από μια τρέχουσα διαμάχη επί της ποσοτικοποίησης (quantification), δηλαδή των ποσοδεικτών των κατηγορικών προτάσεων, μεταξύ του Sir William Hamilton, που υποστήριζε την ποσοτικοποίηση του κατηγορήματος (quantification of the predicate) και του υποστηρικτή του Boole, του Augustus De Morgan (γνωστού από τους νόμους De Morgan της προτασιακής λογικής) που ανέπτυξε μια διαφορετική οπτική της ποσοτικοποίησης.

Για να δούμε συνοπτικά το πρωτότυπο σύστημα της αλγεβρικής λογικής του Boole.

Πρέπει να σημειωθεί ότι το σύστημα του Boole ανάγει όλες τις προτάσεις στην κατηγορική μορφή

x is y

ως τη βασική μορφή προς λογική ανάλυση, διατηρώντας κατ' αυτόν τον τρόπο την βασική αριστοτελική σχέση υποκειμένου - κατηγορήματος, προσπαθώντας όμως ταυτόχρονα να την χειριστεί με την αυστηρότητα που προσδίδει ένα αλγεβρικό σύστημα. Έτσι εκπροσωπεί το μεταίχμιο ανάμεσα στην παραδοσιακή λογική, κρατώντας τα παραδοσιακά σχήματα και την σύγχρονη τυπική λογική, όντας ο πρώτος που επιχειρεί την εφαρμογή του αλγεβρικού φορμαλισμού στον χώρο της λογικής. Γρήγορα το σύστημά του λησμονήθηκε γιατί ξεπεράστηκε από τον προτασιακό - κατηγορικό λογισμό των Frege - Russel, όπου πλέον με την εισαγωγή της έννοιας της συνάρτησης, η κατηγόρηση (copula) μετατρέπεται σε συνάρτηση – κατηγόρημα με παράμετρο της συνάρτησης το υποκείμενο. Λόγω όμως της ιδιαίτερης θέσης που κατέχει στο σύστημα Boole η κατηγορική μορφή υποκειμένου - καηγορήματος ως εκτασιακή σχέση των αντίστοιχων εννοιών, το σύστημα αυτό έχει ιδιαίτερη δύναμη ως προς την ανάλυση των αριστοτελικών προτάσεων και συλλογιστικών τρόπων.

Οι μεταβλητές παριστάνουν κατηγορίες συγκεκριμένων αντικειμένων που χαρακτηρίζονται από γλωσσικά ουσιαστικά, π.χ. ζώα. Μπορούμε όμως να παραστήσουμε μέσω των μεταβλητών και κατηγορίες αντικειμένων που έχουν μια ιδιότητα, π.χ. την λευκότητα. Κάθε τέτοια κατηγορία αντικειμένων περιγράφεται από ένα γλωσσικό επίθετο και το γενικό ουσιαστικό ‘πράγματα’, π.χ. λευκά πράγματα.

Τα γινόμενα μεταβλητών, όπου η καθεμιά παριστάνει μια γενική κατηγορία αντικειμένων με βάση μια ιδιότητά τους, παριστάνουν μια νέα σύνθετη κατηγορία αντικειμένων που κατέχουν από κοινού και τις δύο ιδιότητες. Αν, για παράδειγμα, το x παριστά τα λευκά πράγματα και το y τα πολύτιμα πράγματα, τότε το x.y παριστά τα λευκά πολύτιμα πράγματα. Από αυτό το παράδειγμα φαίνεται η αντιμεταθετικότητα x.y = y.x του γινομένου στο σύστημα Boole, εφόσον πράγματι η σύνθετη κατηγορία των λευκών πολύτιμων πραγμάτων ταυτίζεται με αυτήν των πολύτιμων λευκών πραγμάτων.

Τα αθροίσματα μεταβλητών, όπου η καθεμιά παριστάνει μια γενική κατηγορία αντικειμένων με βάση μια ιδιότητά τους, παριστάνουν μια νέα συνολική κατηγορία αντικειμένων, όπου περιλαμβάνονται όλα τα αντικείμενα από κάθε επιμέρους κατηγορία. Δηλαδή το x+y στο παραπάνω παράδειγμα παριστά τόσο τα λευκά όσο και τα πολύτιμα πράγματα, δηλαδή πράγματα που είναι ταυτόχρονα λευκά και πολύτιμα αλλά και πράγματα μόνο λευκά ή πράγματα μόνο πολύτιμα. Αντίστοιχα είναι και τα αθροίσματα μεταβλητών που παριστάνουν κατηγορίες συγκεκριμένων αντικειμένων, π.χ. άνδρες και γυναίκες ή απλανείς και πλανήτες ή φυτά και ζώα. Από αυτά φαίνεται η αντιμεταθετικότητα x+y=y+x του αθροίσματος στο σύστημα Boole, εφόσον πράγματι η συνολική κατηγορία ανδρών και γυναικών ταυτίζεται με αυτήν των γυναικών και ανδρών.

Μεγάλο ενδιαφέρον έχει το γινόμενο x.x ή x^2 , το οποίο, σύμφωνα με τα παραπάνω, ισούται με x, εφόσον η σύνθετη κατηγορία των αντικειμένων που έχουν την ιδιότητα x και επίσης την ιδιότητα x ταυτίζεται με την απλή κατηγορία των αντικειμένων που έχουν την ιδιότητα x. Η ταυτότητα x^2 = x, θεωρημένη αλγεβρικά, x^2-x=0 ή x.(x-1) =0 δέχεται ως μοναδικές λύσεις στο σύστημα των ακεραίων τους 0 και 1. Οι αριθμητικές σταθερές 0 και 1 είναι οι μόνες σταθερές του συστήματος Boole και επιδέχονται μια σημαντική λογική ερμηνεία. Το 0 παριστά την κενή κατηγορία, την κατηγορία που δεν περιέχει κανένα αντικείμενο. Το 1 παριστά τη συμπαντική κατηγορία, την κατηγορία που περιέχει όλα τα αντικείμενα. Αυτά αργότερα στην επιστήμη των υπολογιστών έγιναν τα 0 και 1 της δυαδικής αναπαράστασης στα υπολογιστικά συστήματα.

Η διαφορά x-y παριστά την λοιπή κατηγορία, που προκύπτει με απόσπαση των αντικειμένων με την ιδιότητα ψ από μια υπερκείμενη κατηγορία αντικειμένων που έχουν την ιδιότητα χ. Η ειδικότερη διαφορά 1-x παριστά την ενάντια ή συμπληρωματική κατηγορία αντικειμένων σε σχέση με εκείνη των αντικειμένων που έχουν την ιδιότητα x, δηλαδή την κατηγορία αντικειμένων που δεν έχουν την ιδιότητα x. Η ταυτότητα x^2=x ισοδυναμεί αλγεβρικά με την ταυτότητα x.(1-x) = 0, η οποία αναπαριστά συμβολικά το βασικό αριστοτελικό λογικό αξίωμα της αντίφασης, ότι δηλαδή η κατηγορία των αντικειμένων που έχουν την ιδιότητα x και ταυτόχρονα δεν έχουν την ιδιότητα x είναι η κενή κατηγορία ή ισοδύναμα είναι αδύνατο για ένα αντικείμενο να κατέχει και ταυτόχρονα να μην κατέχει μια ιδιότητα. Από αυτά φαίνεται η εκφραστική δύναμη του συστήματος Boole ως προς την ερμηνεία των λογικών αρχών.