Category: Science.Math

Topic: Aleksandr Lyapunov

English version [Ακολουθεί και η ελληνική εκδοχή]

Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (June 6, O.S. May 25, 1857 - November 3, 1918) was a Russian mathematician, engineer and physicist. He is best known for developing the stability theory of a dynamic system, as well as for his many contributions to mathematical physics and probability theory.

The main issue in Lyapunov's research was the stability of a rotating liquid mass with possible astronomical applications. This topic had been proposed by Lyapunov by the admirable Russian mathematician Chebyshev, as part of his dissertation on his masters, which he submitted in 1884 entitled On the stability of ellipsoidal forms of rotating fluids .





Ελληνική εκδοχή

Ο Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (June 6, O.S. May 25, 1857 – November 3, 1918) ήταν Ρώσος μαθηματικός, μηχανικός και φυσικός. Είναι κυρίως γνωστός για την ανάπτυξη της θεωρίας ευστάθειας (stability theory) ενός δυναμικού συστήματος, όπως επίσης και για τις πολλές του συνεισφορές στην μαθηματική φυσική και τη θεωρία πιθανοτήτων.

Το κύριο ζήτημα στην έρευνα του Lyapunov ήταν η ευστάθεια μιας περιστρεφόμενης υγρής μάζας με πιθανές αστρονομικές εφαρμογές. Το θέμα αυτό είχε προταθεί από τον Lyapunov από τον θαυμαστό Ρώσο μαθηματικό Chebyshev, ως μέρος της διατριβής του για το masters του, που υπέβαλε το 1884 με τον τίτλος On the stability of ellipsoidal forms of rotating fluids.

Ο μαθητής και συνεργάτης του Vladimir Steklov, θυμόταν την πρώτη του διάλεξη με τον εξής τρόπο: «Ένας όμορφος νεαρός άνδρας, σχεδόν στην ηλικία των φοιτητών του, ήρθε μπροστά στο κοινό του, μεταξύ των οποίων και ο ηλικιωμένος κοσμήτορας, καθηγητής Levakovsky, που ήταν σεβαστός από όλους τους φοιτητές. Αφότου έφυγε ο κοσμήτορας, ο νέος άνδρας σπασμένη φωνή ξεκίνησε να παραδίδει μια σειρά πάνω στη δυναμική των υλικών σημείων, αντί για την προκαθορισμένη σειρά πάνω στα δυναμικά συστήματα. Αυτό το θέμα ήταν ήδη γνωστό στους φοιτητές από τις διαλέξεις του καθηγητή Delarue. Αλλά αυτό που δίδασκε ο Lyapunov ήταν εντελώς καινούργιο για μένα και δεν είχα ξαναδεί αυτό το υλικό σε κανένα εγχειρίδιο. Κάθε αντιπάθεια για τη σειρά έγινε σκόνη. Από εκείνη τη μέρα οι φοιτητές έτρεφαν για τον Lyapunov ιδιαίτερο σεβασμό».

Η κύρια συνεισφορά του εκδόθηκε στην εορταστική μονογραφία A.M. Lyapunov, The general problem of the stability of motion. 1892. Kharkov Mathematical Society, Kharkov, 251p. (in Russian). Αυτό οδήγησε στην διδακτορική του διατριβή του 1892 The general problem of the stability of motion.

Στη θεωρία των κανονικών διαφορετικών εξισώσεων/ ordinary differential equations (ODEs), οι συναρτήσεις Lyapunov είναι βαθμωτές συναρτήσεις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη της ευστάθειας μιας ισορροπίας σε μια ODE. Μια παρόμοια ιδέα εμφανίζεται στην θεωρία των Markov chains του χώρου γενικών καταστάσεων, υπό το όνομα των συναρτήσεων Foster–Lyapunov.

Για συγκεκριμένες κατηγορίες ODE, η ύπαρξη των συναρτήσεων Lyapunov είναι μια αναγκαία και ικανή συνθήκη ευστάθειας. Αν και δεν υπάρχει κάποια γενική τεχνική για την κατασκευή συναρτήσεων για ODE, σε πολλές ειδικές περιπτώσεις η κατασκευή των συναρτήσεων Lyapunov είναι γνωστή. Για παράδειγμα, οι συναρτήσεις δευτέρου βαθμού αρκούν για συστήματα μιας κατάστασης. Επίσης η λύση μιας συγκεκριμένης γραμμικής ανισότητας μητρών (linear matrix inequality) παρέχει συναρτήσεις Lyapunov για γραμμικά συστήματα. Τέλος νόμοι διατήρησης (conservation laws) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή συναρτήσεων Lyapunov για φυσικά συστήματα.